Resolução Das Questões de Movimento Circular

Olá pessoal...resolvi postar aqui a minha resolução das questões. Tomara que ajude quem está com dúvidas

OBS:Quem resolveu fui eu, então muito possivelmente eu errei algumas questões, ou resolvi de uma maneira mais trabalhosa do que o necessário...

Legenda:
Omega=w
pi=pi
Teta=Q
Gama=y
tempo=t
período=T
frequência=f
vzero, wzero, Qzero e demais coisas=vº,wº, Qº, Etc...
sinal de divisão= /
sinal de multiplicação (só usarei quando necessário)=*

Vou da questão 10 à questão 30 (haja coragem...)

Questão 10

O mais leigo iria lá e marcaria 15 minutos...mas espera aí! quando o ponteiro de minutos anda, o das horas também anda! Sabendo que o movimento é de MCU, escrevemos a equação de espaço dos ponteiros de hora e minutos

Hora:
Qhora = Qº + wt .Vamos considerar 3h como sendo o ângulo inicial, sendo então Qº=0. A velocidade angular do relógio se calcula pela relação w=2pi/T. Se T é o tempo de uma volta, T=12 horas. Então, w=pi/6
Assim, Qhora = pi/6*t

Minutos:
Se o ponteiro nas 3h é o zero, então, segundo o sentido de rotação, o ponteiro dos minutos, estando nas 12h (para dar 3h em ponto, como diz no enunciado), faz um ângulo de -90º, ou -pi/2. o w é encontrado com o mesmo raciocínio que o anterior, só que o período do ponteiro dos minutos é 1 hora, então w=2pi
Portanto, Qmin = -pi/2 + 2pi*t

No momento em que os ponteiros se encontram, Qhora = Qmin
Agora é matemática
pi/6*t = -pi/2 + 2pi*t (corta os pi, NÃO corta os t, multiplica toda a equação por 6, pra eliminar os denominadores)
t = -3 + 12t
-11t = -3
t = 3/11 HORAS
multiplicando por 60...
t = 180/11 minutos

RESPOSTA: C

Questão 11

25km/h significa que Fernando dá 5 voltas em 1 hora (frequência), enquanto Pedro dá 4 voltas em 1 hora. Portanto, após 1 hora eles se encontram, e Fernando dá 5 voltas.

RESPOSTA: B (o problema só se tornou fácil assim pois se fizermos outras contas percebemos que eles só se encontram de hora em hora, nem antes nem depois disso).

Questão 12

Questão teórica. não é A pois a velocidade da moeda que está longe do centro precisa ser maior. não é B nem E pois as duas velocidades angulares são iguais, e não é C pois fazendo alguns cálculos encontraremos que v1 = v2/2

RESPOSTA: D

Questão 13

Usando a relação f1r1 = f2r2 e f1 = f, segundo o enunciado, vem
12f = 3f2
f2 = 4f

RESPOSTA = B

Questão 13

como w = wº + yt, e wº=0, vem
w = 2*5 = 10 rad/s
como v = wr, e r = 0,1m, então
v = 10*0,1 = 1m/s

RESPOSTA: w=10 rad/s e v=1m/s

Questão 15

Olhem lá embaixo o que o Prof. Anderson disse. não da pra representar os vetores no fórum =S

Questão 16

Em primeiro lugar, transformaremos rpm em Hz, dividindo os valores por 60. Assim encontramos fº=20Hz e f=10Hz
como w=2pi*f,
wº=40pi rad/s
w=20pi rad/s
Além disso, w = wº + yt, então
20pi = 40pi + 10y
y = -2pi rad/s^2 (pois se trata de um movimento retardado)

o número de voltas é encontrado pela equação Q = Qº + wºt + 1/2*y*t^2, sendo Qº=0
Q = 400pi + 1/2*(-2pi)*100
Q = 300pi rad (isso é o ângulo)
para encontrar o número de voltas "n", basta dividir 300pi pelo tamanho de uma volta (2pi)
n = 300pi/2pi = 150 voltas

RESPOSTA = y=-2pi rad/s^2 e n=150 voltas

Questão 17

Essa questão é muito semelhante à anterior

a) se w = wº + yt, vem
12pi = 5pi + 3,5y
y = 2pi rad/s^2 (movimento acelerado)

b) daquela fórmula gigante da questão anterior, sendo Qº = 0,
Q = 5pi*3,5 + 1/2*2pi*12,25
Q = 29,75 rad...isso dá 5535 graus

RESPOSTA: a) 2pi rad/s^2 b) 5535 graus

Questão 18

Se a bicicleta anda 60 metros em 10 segundos, sua velocidade tangencial é 6m/s (estamos cansados de ver isso)
como w=v/r e w = 2pi*f, vem
6/0,4 = 2pi*f
f=15/2pi (aproximando pi para 3)
f = 2,5Hz (medida aproximada)

RESPOSTA: D

Questão 19

a) A banda de rodagem é o comprimento da roda = 2m. Se uma volta dessa roda corresponde a 2 metros percorridos, o número de voltas para percorrer 6000 metros será
2*N = 6000 (pela regra de três)
N = 3000 voltas

b) A partir da circunferência, podemos descobrir o raio, assim: C/r = pi
portanto r = 2/pi
Agora a questão está igual a 18. transformando 18km/h encontramos 5m/s. assim,
v = wr e w = 2pi*f
5 = 2/pi*2pi*f (cortam-se os pi)
4f = 5
f = 1,25Hz

RESPOSTA: a) N=3000 voltas b) f=1,25Hz

Questão 20

a) não vou esboçar gráfico no fórum né...
b)Ac = w^2*r (pela equação horária, w = pi/4)
Ac = (pi/4)^2*5
Ac = 5pi^2/16 rad/s^2

RESPOSTA: a)gráfico b) 5pi^2/16 rad/s^2

Questão 21

Ou eu fiz errado ou a questão é ridícula. E eu não entendi o porquê da velocidade angular ser dada em rpm...pois bem..essa questão necessita revisão.

RESPOSTA: w = 30 rpm

Questão 22

se considerarmos o ponteiro 12 como ângulo zero, e se observarmos que a cada 5 minutos o ângulo formado é de 30 graus(existem "12" 5 minutos no relógio, e dividindo 360 graus por 12 encontramos 30), então o ângulo formado pelo ponteiro dos minutos será
Qmin = 4*30 = 120 graus

O ângulo formado pelas horas é pi/2(90 graus) + 1/3 (um terço de hora, ou seja, 20 minutos) * pi/6 (lembra da questão 10? é a velocidade). Isso aí dá 10pi/18, ou 5pi/9, que dá exatamente 100 graus

o ângulo formado entre os ponteiros é 120 - 100 = 20 graus

RESPOSTA: E (tenho certeza que alguém vai ter uma resolução + fácil que esta)

Questão 23

vamos tratar primeiro do piloto A, e lembrar que o resultado deste será aplicado no B

wa = va/r = Qa/t (tudo isso é definição de w, só estou aplicando). Como Qa = 25 (voltas restantes)*2pi = 50pi, podemos isolar t, encontrando
t = r*50pi/va
Tudo isso se aplica na moto B, com a diferença de que Qb = 26*2pi = 52pi. Igualando as duas equações...
r*50pi/va = r*52pi/vb (cortamos r e pi, e multiplicamos em cruz)
52vb = 50va
vb/va = 26/25

RESPOSTA: vb/va = 26/25 (sem unidade de medida, pois é uma razão)

Questão 24

Essa para mim foi a mais complicada...deu quase uma folha de resolução, mas incrivelmente eu não usei o raio, que foi dado, para resolver o problema...prestem bastante atenção.

I- o primeiro tipo de encontro
a equação horária do movimento das partículas A e B é Q = Qº + wt (sendo Qº=0, pois eles partem de um momento de encontro). Sabemos também que w = 2pi/T
Assim, na primeira partícula, Q1 = 2pi/Ta*t, sendo t = 30
e, se considerarmos t = 30, a segunda partícula terá andado exatamente uma volta a mais que a primeira, portanto Q2 = Q1 + 2pi = 2pi/Tb*30 e, isolando Q1, temos Q1 = 60pi/Tb -2pi
Juntando as duas equações encontradas, temos
60pi/Ta = 60pi/Tb - 2pi (não vou fazer todas as contas matemáticas, isso você faz) Assim, isolamos Ta e encontramos
Ta = 30Tb/30-Tb (acabamos a metade hahaha)

II- o segundo tipo de encontro
Aqui a coisa funciona de modo parecido...a primeira partícula se movimenta assim:
Q3 = 2pi/Ta*10
a segunda, como se movimentará na direção contrária, quando se encontrar com a primeira partícula fará exatamente o ângulo que faltaria para Q3 completar 360 graus, ou 2pi. Portanto
Q4 = 2pi - Q3 = 2pi/Tb*10, isolando Q3, temos Q3 = -(10pi/Tb - 2pi)
Igualando...
20pi/Ta = -(10pi/Tb - 2pi) (fazendo as contas...se quiserem faço depois! agora não)
Ta = 10Tb/Tb -10

Aleluia! agora podemos igualar e descobrir Tb:
30Tb/30-Tb = 10Tb/Tb-10 (isso dá uma equação de segundo grau, cujas raízes são 0 e 15, e não pode ser 0, não dá pra fazer a volta em algo sem gastar tempo)
então: Tb = 15
Substituindo Tb em qualquer uma das equações acima encontramos que Ta = 30

RESPOSTA: Ta = 30s, Tb = 15s (se encontrarem outra resolução eu ficarei profundamente irritado, mas postem...esse método bisonho não deve ser o único)

Questão 25

Uma questão teórica. apenas observando o que foi ensinado nas páginas anteriores fica claro que a resposta é

RESPOSTA: D

Questão 26

a) o mesmo de A, anti-horário
b) como 2pi = 50 dentes,
v = 50*100 = 5000 dentes/min (pense como se a quantidade de dentes fosse o raio, pois o raio está diretamente ligado com a circunferência, que é o número de dentes)
c) Seguindo o mesmo raciocínio e aplicando o que a gente sabe,
wa*dentesa = wb*dentesb
100*50 = 100*wb
wb = 50 rad/s e multiplicando por 2pi/60(para mudar de rad/s para rpm), encontramos 100pi/60 ou 10pi/6 rpm (não tenho certeza desta)

RESPOSTA: a) Anti-horário b) v = 5000dentes/min c) 10pi/6 rpm

Questão 27

Outra teórica. Quanto mais longe do centro maior a velocidade linear, e as velocidades angulares, num mesmo disco, são sempre iguais. portanto,

RESPOSTA: A

Questão 28

Teórica...uhul...
I- Errado, pois a velocidade linear, sendo vetorial, é alterada na dierção e sentido, a todo instante.
II-Correto, pois se w=2pi/T e T=pi, então w = 2rad/s
III- Incorreto, pois no MCUV a componente tangencial da força (At) não é nula
IV- Incorreto, pois a aceleração tangencial não varia no MCUV

RESPOSTA: A

Questão 29

a)como w = Delta Q/Delta t (faz tempo que não usávamos essa em) e w = 2pi*f
2pi*f = 24pi/30
f = 0,4 pedaladas/s

b)vovô e vovó adoram tatú...nada de movimentos circulares...
V = Vº + at (parte do repouso, então Vº = 0)
V = 0,5*6
V = 3m/s

RESPOSTA: a) 0,4 pedaladas/s b) 3 m/s

Questão 30

Essa foi a questão que achei mais bem formulada...
usando w = wº + yt, sendo w=0, wº = 2pi*fº, s = 15...
0 = 2pi*fº + 15y
y = -2pi*fº/15

Agora utilizando a fórmula do espaço percorrido, e lembrando que 90 voltas é 180pi,
Q = Qº = wºt + 1/2*y*t^2 ...sendo Qº = 0
180pi = 2pi*fº*15 + 1/2*(-2pi*fº/15)*225 (dá pra cortar os pi..)
180 = 30fº - 15fº
15fº = 180
fº = 12Hz, mas ele quer em rpm...(maldito)...multiplique por 60 e então terá a resposta...720 rpm

RESPOSTA: E

É isso aí pessoal, tomara que isso ajude, pois deu bastante trabalho pra mim...até a próxima!

Mas é claro que ajudou Julio! Conferi todas as questões; algumas poucos não bateram, mas depois de reformular minha linha de raciocínio e comparar com a sua resolução cheguei aos mesmos resultados. Menos a 24, que ainda não tomei vergonha na cara p/ voltar e tantar fazê-la denovo. Não vou nem olhar sua resolução. Vou na raça. Peguei apenas o seu resultado, tentarei fazer de algum jeito que bata.

E mais uma vez, valeu pelo gabarito e explicação.

Olá Pessoal,

Vou contribuir com uma resolução SADOMASOQUISTA da Questão 11 que o Julio resolveu brilhantemente!

Questão 11

Seja C, o comprimento da pista circular e R o raio, então:

C=2*pi*R
5 =2*pi*R
5/2*pi =R

R = 2,5/pi km

Velocidades Angulares, W=V/R:

Fernando: W(F)=25/(2,5/pi)
W(F)=10*pi rad/h

Pedro: W(P)=20/(2,5/pi)
W(P)=8*pi rad/h

Funções Horárias:

Fernando: Q(F) = W(F)*t
Q(F) = 10*pi*t

Pedro: Q(P) = W(P)*t
Q(P) = 8*pi*t

O segundo encontro acontece quando Fernando der exatamente, uma volta a mais que Pedro, assim:

Q(F) - Q(P) = 2*pi (Não se esqueça que uma volta em radianos equivale a 2*pi)
10*pi*t - 8*pi*t = 2*pi
t = 1 h

Em 1 hora, Fernando efetua um deslocamento angular igual a:

Q(F) = 10*pi*1 = 10*pi rad

Por uma regrinha de três (sem vergonha!) concluimos que este deslocamento angular corresponde a 5 voltas.

Julio!

Na questão 15 acho que ele somente pede o desenho dos vetores, que vcs encontrarão um igual na página 80 da apostila.

Abraços,

Prof. Anderson

Professor Anderson escreveu:

Julio!

Na questão 15 acho que ele somente pede o desenho dos vetores, que vcs encontrarão um igual na página 80 da apostila.

Abraços,

Prof. Anderson

é verdade u.u'

da próxima vez tomarei mais cuidado ao ler "REPRESENTE"